Алексей Геннадьевич родился 7 ноября 1955 года в Волгограде в семье служащих. В детстве и юности занимался музыкой и спортом, имел спортивные разряды по легкой атлетике, туризму и подводному плаванию. Закончил Ленинградский военно-механический институт по специальности «двигатели летательных аппаратов», а также курсы повышения квалификации при С.-Петербургской академии культуры по специальности «преподаватель бальной хореографии».
Бальными танцами начал заниматься в 1972 году. Вместе с партнершей Людмилой Гарновой в 1974 и 1975 годах стал лауреатом и дипломантом Всероссийских и снова в 1975 году II Всесоюзного конкурса исполнителей бальных танцев. Очень рано начал педагогическую работу - в 1976 году.
С 1978 по 1982 годы с партнершей и женой Тамарой Беляевой стал танцором международного класса, призером и победителем многих конкурсов и соревнований.
С 1982 года Алексей и Тамара - артисты балета Ленконцерта и одновременно руководители народного коллектива ансамбля бального танца «Нева» при ДК им. 10-летия Октября.
В 1988 году организуется сначала Ассоциация профессиональных исполнителей и учителей бального танца (АПУБТ), а потом она сразу преобразуется в Русский танцевальный союз (РТС). Алексей и Тамара с 1988 по 1990 годы участвуют во всех профессиональных конкурсах, проводимых в это время РТС, членами которого они являются с 1988 года.
Танцевальную карьеру Алексей закончил в 1990 году, полностью перейдя на преподавательскую работу. Вместе с Тамарой организовали танцевальный клуб «Виват». В настоящее время студией артистического и бального танца «Виват» руководит Тамара Беляева.
Начиная с 1991 года, Алексей становится одним из активных организаторов профессиональных шоу и конкурсов в С.–Петербурге, включая чемпионаты России по La, St, La и St сэквею, международной встречи профессиональных команд СССР и США в 1992 году, «Мирового трофея С.- Петербурга» среди профессионалов в 1997, 1998 и 2001 годах.
Лицензированный судья WDC, участник судейских бригад чемпионатов мира и Европы.
С 1992 года Алексей Беляев был президентом «Танцевального союза С.-Петербурга», региональной организации РТС.
На AGM в мае 2003 года в Блэкпуле (Англия) Алексей Беляев был избран заместителем председателя Комитета по общественному танцу WD&DSC (Всемирный совет по танцу и танцевальному спорту) (сейчас WDC).
С 1996 года был вице-президентом РТС. В настоящее время член президиума РТС. А в 2019 году А. Беляеву было присвоено почетное звание - почетный вице-президент РТС.
